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21年1月考试季锦秋名师考点解析|A-Level数学M1-3考情回顾及备考指导

作者:  2021-03-09 13:31:25  阅读量:

中国学生的数学水平在世界都是有名的

留学的宝宝纷纷发挥中华民族的“数学基因”

将选科必选数学发扬光大


于是

好奇的同学就问了

都说A-Level的数学比高考数学简单

是这样吗?


A-Level的数学包括基础数学和进阶数学

在内容上基础数学和进阶数学有连续性

但这是A-Level的两门独立课程

学生可以单独选择其中一门

但中国学生一般会都选


数学的教学内容有四大模块

纯数学(pure mathematics)

统计数学(statistics)

机械数学(mechanics)

决策数学(decision mathematics)


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下面我们一起跟着锦秋数学组老师

回顾下爱德思考试局2021年1月考试季

A-Level数学考情解析!

锦秋名师带你梳理考点啦!!


A-Level数学M1 2021年1月考情分析

考试日期:2021年1月19日

考试时长:1小时30分


01、考查匀加速直线运动

(a)题目中提供了初速度u的信息,另外重力加速度g取9.8。抛射点距离地面5米而目标点是距离地面2m的位置,所以位移是向下的3m。代入公式2as=v2-u2即可求得末速度的大小。当我们规定正方向为向上的时候,初速度为正数,加速度和位移都为负数。


(b)当落地的时候位移为向下的5m。使用公式图片,规定正方向向上,其中初速度为20m/s,加速度为-9.8m/s2,而位移为-5m,求解时间t即可,t有两个解,我们保留正数解舍弃负数解。


02、考查动量守恒

碰撞中受到的冲量方向应该跟受力方向一致,规定沿着P初始速度的方向为正,则有

(a)P受到的冲量与自己的速度方向相反,为负数,根据冲量的定义,-5mu=Pf - (6mu),可以解得P的末动量为mu,由于P的质量为2m,所以P的末速度为0.5u,方向与初始方向相同。


(b)Q受到的冲量与自己的速度方向相反,由于Q的速度方向与我们规定的正方向相反,所以冲量为正数,5mu=Pf - (-2mu),解得末动量为3mu,所以末速度为3u方向与Q的初始方向相反。


03、考查力的平衡

对于平衡问题来讲,质点在各个方向所受到的合外力为0。由于题目要求的是拉力T的最小值,当拉力T较小的时候,物体因200N的力有向左运动的趋势,所以摩擦力f的方向向右。根据水平方向的受力平衡可得200 cos15=f +T cos25,垂直方向为200 sin15+Tsin25+R=mg。最后,由于是极限的平衡状态f =μR,求解方程组即可得到答案。


04、考查力矩平衡

题目描述了两种情况,在第一种情况中,杆有关于D点翻转的趋势,此时支撑点C的力为0,根据力矩平衡,关于D点求力矩,可以列出等式W(6-x-1)=900(6-1)。在第二种情况中,杆有关于C点翻转的趋势,此时支撑点D的力为0,根据力矩平衡,关于C点求力矩,可以列出新的平衡要求W(x-1)=1500 x 5。联立方程组求解可得到W和x的值。


05、考查向量的合成

方向角为正北方出发顺时针扫过的角度,建立坐标系,规定i轴正方向朝东,j轴正方向往北,则可以将题目中描述的向量F和G进行分解,可得F=8cos240i + 8sin240j,而G=-10j。那么求和之后R=8cos240i +(8sin240-10)j。


(a)R的大小可以通过图片进行计算。


(b)通过画图可知R的方向指向左下,其跟j轴负方向的夹角可以通过图片获得,最后再加上180度即可得到方向角的解。


06、考查平面运动

(a)根据匀速运动在平面内的表达式可以求解:rA=rA0 +vAt =(11+3t)i +(11-t)j。


(b)在时刻t=6,rA=29i+5j,对于B来讲,其位移可以表达为RB=(7+4t)i+(16-2t)j,当两者i坐标相等时,可以解得t=5.5,当两者j坐标相等时,可以解的t=5.5。


(c)图片,代入前面计算的结果即可得证。


(d)两者的距离的平方可以表达为图片。求解该二次函数的极小值再开根号即可得到最近的距离的值。


07、考查运动学图像

(a)根据匀加速直线运动的公式v=u+at,代入数值求解即可。


(b)

1.png


(c)对于减速的部分使用匀加速直线运动的公式图片,规定向下为正,其中初速度u为第一段运动到达的末速度,加速度为-3.9ms-2,位移为73.75m。


(d)求解整个图形的面积之和即可。


08、考查链接体

(a)假设绳子上的拉力为T,加速度为a,则对于A可以分析得到T-mAg sinα-f=mAa,其中摩擦力f=μR,而支持力可以通过mAg cosα=R得到。对于B分析可以得到mBg-T=mBa。联立方程组求解即可。


(b)当A和B走过了共同的h距离之后,B因为撞击而立刻停止,拉力消失,A则会因为摩擦力和重力的分量而减速,减速度可以通过mAg sinα+f=mAa来计算。利用公式2as=v2-u2计算上一个运动产生的末速度之后,可以计算得到减速部分走过的位移,再加上h即可得到d的最小值。


(c)滑轮上可能有摩擦力。


A-Level数学M2 2021年1月考情分析


考试日期:2021年1月12日

考试时长:1小时30分


01、第五章:冲量和向量的计算问题,主要考查学生对冲量的向量性质的理解和向量的计算。类似问题并不少见,多加注意就并不困难。


02、第三章:质心与悬挂的问题。本题质心的求解十分简单,lamina是一等腰三角形,只需运用三角形求质心公式即可得到答案。


悬挂相对较少见。该lamina是在一水平外力的作用下保持平衡的,于是一般的质心处在悬挂点正下方的方式无法使用,必须使用力矩平衡进行计算。找lamina重力的力臂时需要用到相似三角形。


03、第四章:功率问题,P=Fv。


本题有两个未知数和两个车辆运动状态的条件,需要分别列出车辆的受力情况然后联立方程求出结果。


本题不是特别简单,但很常见。


04、第三章:质心与悬挂。这是本次试题中的第二道质心与悬挂问题。


需注意题目中是一个framework,好在其形状并不容易被误认为是lamina,所以因审题不清导致误判而出错应该不大可能。Framework的质心计算应运用每一线段的长度。


悬挂部分是一个非常基础和常见的问法,难度不高。


05、第二章:变加速运动,向量的积分与微分。


题中给出一速度向量,需要我们

a) 求出运动方向与某一向量平行的时刻。本问需要了解向量平行的计算;

b) 求加速度的大小,需要首先微分速度向量得到加速度向量,再代数并求大小;

c) 求位置向量,需要首先积分速度向量得到位置向量,再进行代数。


本题比较常规,没有易错点,只需仔细读题并按部就班完成。


06、第六章:刚体的平衡。


有一斜搭在墙上的梯子有两种状态:当一人站在C点时,梯子平衡;当其移动到D点时,梯子依然平衡,但达到了极限平衡状态。本题ab两问即是分别提问这两种情况。需要注意的是,第一种状态并没有达到极限平衡,所以不能使用f=μR。


本题计算稍有难度,但并没有超出从前曾有过的水平。


但另有一c问,提问梯子是rod这一modelling assumption。这类文字题在M1中常考,虽然在M2中也同样运用了相同的modelling assumption,但从没有出现过,所以也许一些同学已经遗忘了。


07、第一章:斜抛;第四章:能量。


本题是一斜抛问题,可用水平竖直方向分开进行运动计算的方式解答。但其中第一问明确要求必须使用能量的方法,那么就需要使用机械能守恒来计算小球抛起和落地时的状态。


后两问分别提问了滞空过程中的最小速率和速率大于10m/s的滞空时间,都是常见的抛物运动问题。


08、第五章:碰撞与回复系数。


a) 计算回复系数e。两个初速度都未知,通过给出冲量的大小而使其可以计算。这里要注意判断清楚冲量的方向和正方向,以确保初速度的计算正确。


b) 一球在碰撞后撞墙,又反弹回来和另一球第二次碰撞,求第二次碰撞的位置。本问计算原理简单,只需一个s=vt的公式,但步骤对于一些同学可能有些复杂,容易出错。相对来说是一个难度较高的小问,但前几年曾有过几乎一样的问题,并不新奇。


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A-Level数学M3 2021年1月考情分析


考试日期:2021年1月14日

考试时长:1小时30分


01



(a)  考点是利用积分求旋转体的体积,直接套P4部分现成的公式图片;


(b)  考点是利用积分求旋转体的质心,直接套现成的公式。


02



(a)  考点是万有引力的反平方规律F=k/x2,利用地球表面(x=R时)的万有引力为mg来求k。


(b)  考点是利用F=ma来列方程,然后积分求速度。解这类题目时,正负号容易出错,如果以远离地球球心为正方,则F应该是负的,因为是指向圆心的,很多学生容易忽略这一点。解这类题目,可以用a=vdv/dx分离变量求解,也可以用图片直接积分求解。


03



(a)  考点是圆周运动中的F=ma。水平方向列F=ma的方程,竖直方向列平衡方程。这类题目,两个方程所分析的方向必须是垂直的,否则两个方程不独立。


(b) 

1.jpg


04



(a) 考点是复合的质心的求法。首先需要注意的是,这里的研究对象是solid,而非shell。其次,本题可以认作是从一个大的solid cone里扣除掉了两个小的solid cone,化简为了典型的求复合质心的题目。


(b) 考点是求悬挂物体时形成的夹角。解此类问题,先连接悬挂点和质心,来确定downward vertical line,然后再根据质心的坐标来求角度。因为A点,B点和质心三个点的坐标都是已知的,所以,可以借助P4中向量的知识来求夹角,即,套用图片


05



(a)  考点是胡克定律(Hooke’s law),列一个力的平衡方程,再列一个total extension=4a的方程,联立求解即可。


(b)  考点是证明S.H.M。此类题目是必考题,套路非常固定。先令particle处于某个距离平衡点距离为x的位置,再列F=ma的方程,最后凑成图片的形式即可。很多学生容易忽略第一步,导致最终结果里没有x的出现。


 (c)  考点是v2=ω2(a2-x2)。这里一个容易犯的错误是,很多学生会直接把7a/2认为是x,实际上是不对的。x应该是距离平衡点的位移,所以在这里应该是0.5a。


06



(a)  考点是能量守恒和圆周运动。首先,列从A点到顶点的能量守恒的方程,求出在定点处的速度;再根据求出的速度,列F=ma的方程,求顶点处绳子的拉力T。要证明“complete vertical circles”,只需要求出T大于0即可。


(b)  考点同(a),这里要注意的是,当particle处于最低点时,绳子的拉力是最大的。所以,只需要求出particle处于最低点时绳子的拉力,并且小于7mg即可。


07



(a) 考点是能量守恒。利用Energy lost-μRx=Energy gained列方程即可。


(b) 考点是胡克定律和摩擦力。当particle处于A点时,会受到沿斜面向下的Tension和component of weight,以及组织particle滑动的μR.。如果前两者的和大于第三者,则,会滑动。


1.jpg




总评

难度不大,所有题目都比较常规和典型,比前两次官考的题目要简单一些。


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